Ciao, Donatella, non ti preoccupare troppo.
Penso che il tuo Oleandro (Nerium oleander) non abbia altro che un attacco di cocciniglia. Tranne che non sia in un vaso troppo piccolo, o che non abbia sofferto per il gelo di quest'inverno.

Prendiamo per prima in considerazione solo l'ipotesi cocciniglia, che è la più probabile, poi vedremo in seguito...
L'Oleandro è spesso soggetto ad infestazioni di vari tipi di questo parassita, infestazioni che però raramente hanno risultato esiziale per la pianta: ne ho viste di letteralmente coperte, che però campavano da decenni e, pur un po' stentate, riuscivano a fare fiori e a buttare nuovi germogli.
Il tipo che bazzica più spesso sull'Oleandro è la cocciniglia che io chiamo "a scudetto", che è quella che può passare inosservata ad un esame superficiale. La riconosci perché è una specie di conchiglia, come una minuscola valva di cozza, cerosa e lunga un paio di mm, di colore grigiastro o giallastro. Si attacca in colonie ai rami e alle foglie, e sotto lo scudetto conserva le uova e le larve che si nutrono della linfa.
Prova di fare un esame accurato: penso che le scoprirai.

Per la cura evita di ricorrere ad "anticoccidici" chimici, fin che si può. Il sistema migliore è quello di staccare gli scudetti uno per uno e lasciarli perdere: uova e larve muoiono se esposti all'aria e senza cibo.
Non ti spaventare. Non è un lavoro tanto complicato né difficile: con l'uso delle dita e con un paio di guanti di gomma riesci a farne una bella strage. Altrimenti puoi ricorrere ad uno spazzolino a setola dura e strofinare le parti colpite della pianta, facendo attenzione a non rovinarne la corteccia.
Col nuovo motore di ricerca che ho appena installato nell'ARCHIVIO di "Nel Giardino", ti sarà comunque facile trovare sul sito altre notizie su questo ed altri tipi di cocciniglia. Va' a darci un'occhiata.

Ma se non fosse cocciniglia...
Forse da troppo tempo non lo travasi? Digli di tenere duro fino a quest'autunno, poi passalo in un vaso più grande.
A sviluppo completo una pianta adulta dovrebbe stare in un vaso di diametro almeno 60 cm, o in un contenitore di dimensioni simili.
Fino ad allora ogni due settimane dagli un concime universale liquido, senza superare le dosi consigliate, mescolato all'acqua dell'annaffiamento. Questo lo potrai fare sempre, interrompendo il trattamento nel periodo invernale, durante il quale ridurrai di parecchio anche le annaffiature.
Evita, se puoi di usare i "potenti aficidi" che la chimica irresponsabilmente ci fornisce. Quelli uccidono Afidi & Co., ma anche tutti i microrganismi essenziali alla salute del terreno, e anche tutti quegli insetti che si nutrono proprio di afidi, come le coccinelle e le loro larve.
Piuttosto usa il mio metodo del tabacco, contro gli afidi, di cui trovi ampie spiegazioni negli articoli dell'Archivio. Lì troverai anche tanti suggerimenti su come difenderti dalle cocciniglie senza ricorrere alla lotta chimica.
Se per caso trovi le foglie schizzate da goccioline di una materia zuccherina simile al miele (si chiama melata ed è prodotta dalle cocciniglie) affrettati a lavarle per bene, perché su quella potrebbe installarsi la fumaggine, che è un micro-fungo nerastro ben più dannoso di cocciniglia e afidi.